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1. Hash函数特性

Hash函数是将任意长度的输入，映射为固定长度的输出：

$h:Z_2^{\ast }\mapsto Z_2^n$ 通常$n$的取值为：128，160，256，512。 Hash函数应具有如下特性：

• Pre-image resistant：即已知$y$，根据$h(x)=y$求$x$，需要$2^n$次尝试。
  
• 2nd pre-image resistance：已知$M$和$h(M)$，找到另一个$M^{\prime }$使得$h(M^{\prime })=h(M)$，需要$2^n$次尝试。
  
• Collision resistance：找到任意的$x_1!=x_2$，使得$h(x_1)=h(x_2)$，需要$2^{n/2}$次尝试。
  

一个好的Hash函数，应表现得像一个random oracle。

密码学中Hash函数可用于：

• 签名：用$sig{n}_{RSA}(h(M))$代替$sig{n}_{RSA}(M)$
• 密钥推导：由主key $K$推导keys $K_i=h(K||i)$
• Bit commitment, predictions：$h(whatIknow)$
• 消息认证：$h(K||M)$

2. random oracle

random oracle(RO)是将任意长度的消息映射为无限输出string。

支持的输入参数为$(M,l)$，其中$M$代表的是输入的消息，$l$代表希望的输出字符串的长度。 输出为$Z$，为$l$长度的字符串。是独立且均匀分布的字符。 random oracle的输出是自洽的，即相同的输入，对应相同的输出。

random oracle没有internal collisions。

3. tranditional construction——Merkle-Damgård

4. sponge construction

$f$被称为$b$-bit排列函数（同时也为extendable output function(XOF)），$b=r+c$，其中的$r$为bits of rate，$c$为bits of capacity(security parameter)。

4.1 sponge函数

sponge函数又可称为海绵函数，主要分为两个阶段：

• absorbing 吸收阶段。对应该阶段的为hash碰撞。
• squeezing 挤压阶段。对应该阶段的为周期性output。

论文 中sponge函数等的定义如下：

5. duplex construction

参考资料：

[1] [2] [3] [4] 博客

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